ISBN: 9786040141798
Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất
Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\)
b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\)
c) \(y =\frac{ 2-x}{1-x}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\)
d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\)
Câu a: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\)
Tìm tập xác định
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)
Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này
Tính đạo hàm. Giải phương trình y'=0 tìm các điểm xi (i=1, 2,...,n) thuộc đoạn cần tính và tính y tại các điểm thuộc đoạn
Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)
Trên đoạn [-4;4]:
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \in \left[ { - 4;4} \right]\\ x = - 1 \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\)
Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = y( - 1) = 40\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = y( - 4) = - 41\)
Trên đoạn [0;5]:
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 \in \left[ {0;5} \right]}\\ {x = - 1 \notin \left[ {0;5} \right]} \end{array}} \right.\)
Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(5) = 40\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(3) = 8\)
Vậy ta có:
Câu b: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^4 - 3x^2 + 2\)
Tập xác định D=R
Hàm số liên tục trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\) nên có GTLN và GTNN trên các đoạn này:
Đạo hàm: y'=4x3-6x.
Trên đoạn [0;3]:
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]}\\ {x = 0 \in \left[ {0;3} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \in \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)
Ta có: y(0)=2; \(y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = - \frac{1}{4}\); y(3)=56.
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số:\(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( 3 \right) = 56.\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = - \frac{1}{4}.\)
Trên đoạn [2;5]:
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = 0 \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)
Ta có: y(2)=6; y(5)=552
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 6 \right) = 552.\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 2 \right) = 6.\)
Vậy ta có:
Câu c:Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =\frac{ 2-x}{1-x}\)
Hàm số có tập xác định D = R \{1} và liên tục trên các đoạn [2;4] và [-3;-2] thuộc D, do đó hàm số có GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này
Ta có : \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\)
Trên đoạn [2;4]: \(y(2)=0;y(4)=\frac{2}{3}\)
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 2 \right) = 0\)
Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 4 \right) = \frac{2}{3}\)
Trên đoạn [-3;-2]: \(y(-3)=\frac{5}{4};y(-2)=\frac{4}{3}.\)
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 3;-2} \right]} = y\left( { - 3} \right) = \frac{5}{4}\)
Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 3; - 2} \right]} = y\left( { - 2} \right) = \frac{4}{3}\)
Vậy
Câu d: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =\sqrt{(5-4x)}\)
Hàm số có tập xác định \({\rm{D = }}\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên xác định và liên tục trên đoạn [-1;1], do đó có GTLN, GTNN trên đoạn [-1;1]
Ta có:\(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Trên đoạn [-1;1]: y(-1) = 3; y(1) = 1
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} y = y( - 1) = 3.\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} y = y(1) = 1\)
Bạn có phương pháp giải hay hơn?