Giải bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = 2 + 3x - x^3\). 

Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số \(y = 2 + 3x - x^3\) có tập xác định là: \(D=\mathbb{R}.\)

Khảo sát sự biến thiên:

- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó y' = 0 hoặc đạo hàm không xác định

 y' = 3 - 3x² .

y' = 0 ⇔ x = ± 1 

- Tìm các giới hạn vô cực

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^2}}} - 1} \right) =  + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{3}{{{x^2}}} - 1} \right) =  - \infty 
\end{array}\)

- Lập bảng biến thiên và xét các khoảng đồng biến, nghịch biến; các điểm cực trị của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;1), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = y(1) = 4, đạt cực tiểu tại x = -1 và y_CT = y(-1) = 0.

Vẽ đồ thị hàm số: Tìm các giao điểm của đồ thị với trục hoành, trục tung; các điểm cực trị (nếu có)

Ta có: \(2 + 3x - {x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 1
\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị cắt trục Ox tại các điểm (2;0) và (-1;0)

Ta có: y'' = -6x; y'' = 0 ⇔ x = 0. Với x = 0 ta có y = 2. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ x = -2 suy ra y = 4

Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).

Tập xác định của hàm số \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\)

 \(D=\mathbb{R}.\)

Khảo sát sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3x² + 8x + 4.

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Giới hạn:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right) =  - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( {1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty 
\end{array}\)

Lập bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại y_cđ = y(-2) = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\)

Vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;0), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: x³ + 4x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 nên tọa độ các giao điểm là (0;0) và (-2;0).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\) 

Câu c: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).  

Tập xác định của hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\):

\(D=\mathbb{R}.\)

Khảo sát sự biến thiên:

Đạo hàm:

\(\begin{array}{l}
y' = 3{x^2} + 2x + 9 = 2{x^2} + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 8\\
 = 2{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 8 > 0,\forall x
\end{array}\)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Các giới hạn 

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{{{x^2}}}} \right) =  - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty 
\end{array}\)

Bảng biến thiên :

Vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0), cắt trục Oy tại điểm (0;0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 ⇔ 6x+2 = 0 ⇔ \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\)

Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm (-1;-9) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\)

Câu d: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = -2x^3 + 5\).

Tập xác định của hàm số \(\small y = -2x^3 + 5\) là

\(D=\mathbb{R}.\)

Khảo sát sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = -6x² ≤ 0, ∀x.

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R

Hàm số không có cực trị

Các giới hạn:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( { - 2 + \frac{5}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( { - 2 + \frac{5}{{{x^3}}}} \right) =  - \infty 
\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: y'' = -12x; y'' = 0 ⇔ x = 0. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;5) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5), đồ thị cắt trục Ox tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\)