Trang chủ   >>   Lớp 12   >>   Toán
SGK Giải Tích 12

SGK Giải Tích 12

ISBN: 9786040141798

Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam

Giải bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)

b) \(y=\sin {2x} - x\)

c) \(y = sinx + cosx\)

d) \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\)

Thanh Hà
5 0
1

Câu a: Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)

Tìm tập xác định

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

2

Tính đạo hàm y'. Giải phương trình y'=0 tìm các nghiệm xi

Đạo hàm:

\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

3

Tính đạo hàm cấp hai y'' và y''(xi) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi

\(y'' = 12{x^2} - 4\)

Ta có:

+ Với x = 0: \(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại y = y(0) = 1.

+ Với x = -1 và x = 1: 

\(y''(-1)=y''(1)=8>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu 

\(y_{CT}=y(-1)=y(1)=0.\)

Kết luận

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại y = y(0) = 1; đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=y(-1)=y(1)=0.\)

Đánh giá
Báo sai phạm
Tuyết Mai
5 0
1

câu b: Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = sin2x – x\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

2

Đạo hàm: \(y' = 2cos2x - 1\).
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)

3

Đạo hàm cấp hai: \(y'' = -4sin2x .\)

Ta có: 

+ Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\): 

\(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) =  - 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) \)

\(=  - 2\sqrt 3  < 0\)

Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực đại: 

\({y_{CD}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) - \frac{\pi }{6} - k\pi \)

\(= \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

+ Với \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\):

\(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) =  - 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\)

\(= 2\sqrt 3  > 0\) 

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực tiểu:

\({y_{ct}} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} - k\pi \)

\(= - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)

Kết luận

Vậy: 

  • Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\) và giá trịc cực đại \({y_{CD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in Z\)
  • Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\) và giá trị cực tiểu \({y_{CT}} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} - k\pi ,k \in Z.\)
Đánh giá
Báo sai phạm
Gia Bảo
5 0
1

Câu c: Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = sinx + cosx\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

2

Đạo hàm: \(y' = \cos x - \sin x\).

\(\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)

3

Đạo hàm cấp hai: \(y''=-sinx-cosx.\)

+ Với \(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có: 

\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4}\)

\(= - \sqrt 2 < 0.\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 

\(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

+ Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:

\(y''\left( {\frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{4}\)

\(= \sqrt 2 > 0.\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 

\(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Kết luận

Vậy

  • Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)
  • Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)
Đánh giá
Báo sai phạm
Hạnh
5 0
1

Câu d: Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = x^5 - x^3 - 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

2

Đạo hàm: \(y' = 5{x^4} - 3{x^2} - 2\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) 

(Đặt \(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\))

3

Đạo hàm cấp hai:\(y''=20x^3-6x.\)

Với x = 1 ta có: y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) = -1

Với x = -1 ta có: y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y = y(-1) = 3

Kết luận

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) = -1; hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y = y(-1) = 3

Đánh giá
Báo sai phạm

Bạn có phương pháp giải hay hơn?

Nếu thấy hay, hay ủng hộ ngay!