ISBN: 9786040141798
Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất
Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\)
b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\)
c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\)
d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\)
Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\)
Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Sự biến thiên:
- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó y' = 0 hoặc đạo hàm không xác định
Đạo hàm: y' =-4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±2 .
- Lập bảng biến thiên và xét các khoảng đồng biến, nghịch biến; các điểm cực trị của hàm số
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và (0;2), nghịch biến trên các khoảng (-2;0) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và x = 2, giá trị cực đại yCĐ = y(-2) = y(2) = 15. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = -1
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Biểu thị các điểm cực trị lên hệ trục tọa độ.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm:
\(\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } ;0} \right);\left( { - \sqrt {4 - \sqrt {15} ;0} } \right);\)
\(\left( {\sqrt {4 + \sqrt {15} } ;0} \right);\left( { - \sqrt {4 + \sqrt {15} } ;0} \right)\)
đây là các điểm có tọa độ lẻ ta cần ước lượng vị trí gần đúng để vẽ đồ thị cho chính xác hơn. Đồ thị cắt trục Oy tai điểm (0;-1).
Đồ thị của hàm số:
Vậy đồ thị hàm số y=-x4+8x2-1 được vẽ như trên
câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1).
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1 .
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right),\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)và (0;1).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCĐ= y(0) = 2, hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1, giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = y(1) = 1
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Biểu diễn các điểm cực trị lên hệ trục tọa độ.
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt Oy tại điểm (0;2).
Ta thây với các điểm đã có ta chưa vẽ được đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm một điểm có hoành độ x1 < -1 và một điểm có hoành độ x2 > 1 thuộc đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua trục tung. Ta chọn: với x1 = -2 ta có y = 10, với x2 = 2 ta có y = 10.
Đồ thị hàm số:
Vậy đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 2 được vẽ như trên
Câu c: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\)
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' =2x3 + 2x = 2x(x2 + 1); y' = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(0)=-\frac{3}{2}.\) Hàm số không có cực đại
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm: \(\left ( 0;-\frac{3}{2} \right )\), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình:
\(\frac{1}{4}{x^4} + {x^2} - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { - 2 + \sqrt {10} } .\)
Vậy tọa độ giao điểm là:
\(\left( {\sqrt { - 2 + \sqrt {10} } ;0} \right);\left( { - \sqrt { - 2 + \sqrt {10} } ;0} \right).\)
Đồ thị:
Vậy đồ thị hàm số \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\) được vẽ như trên
Câu d: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = -4x - 4x3 = -4x(1 + x2); y' = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCT = y(0) = 3
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;3), cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(- {x^4} - 2{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).
Đồ thị của hàm số:
Vậy đồ thị hàm số y = - 2x2 - x4 + 3 được vẽ như trên
Bạn có phương pháp giải hay hơn?