ISBN: 9786040141798
Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất
Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất
Trang Phan
0 
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cô-si:
Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x, y > 0).
Khi đó xy = 48.
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có :
\(x + y \ge 2\sqrt {xy} = 2\sqrt {48} = 8\sqrt 3 \)
\(x + y = 8\sqrt 3 \Leftrightarrow x = y = 4\sqrt 3 \).
Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng \(2\left( {x + y} \right) = 16\sqrt 3 \) (m) khi \(x = y = 4\sqrt 3 \) (m), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.
Thanh Huy
0
Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)
Ta có:
Khi đó chu vi của hình chữ nhật là \(p=2(x+y) \Leftrightarrow p=2x+\frac{96}{x}.\)
Xét hàm số \(p(x)=2x+\frac{96}{x}.\) trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
\(p'(x) = 2 - \frac{{96}}{{{x^2}}};\,\,p'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 3 {\mkern 1mu}\) (do x>0).
Bảng biến thiên:
.png)
Từ bảng biến thiên ta có: \(\min p = 16\sqrt 3\) khi \(x = 4\sqrt 3 \,\).
Với \(x = 4\sqrt 3 \,\Rightarrow y=\frac{48}{x}=4\sqrt 3\).
Vậy hình vuông có cạnh \(4\sqrt 3 \,\) là hình có chu vi nhỏ nhất theo yêu cầu bài toán.
Bạn có phương pháp giải hay hơn?
