ISBN: 9786040141798
Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất
Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\)
b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\)
c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\)
Câu a: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của phương trình \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)
Tìm tập xác định
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Sự biến thiên:
- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó y' = 0 hoặc đạo hàm không xác định
Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.
- Lập bảng biến thiên và xét các khoảng đồng biến, nghịch biến; các điểm cực trị của hàm số
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = 5; đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu yCT = y(2) = 1
Đồ thị:
Tính đối xứng: y'' = 6x - 6; y'' = 0 ⇔ x = 1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5).
Đồ thị của hàm số:
Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm
Câu b: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(1) = -1, hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = -2
Đồ thị hàm số:
Tính đối xứng:
\(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\)
Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6).
Đồ thị của hàm số:
Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.
Câu c: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của phương trình \(\small 2x^2 - x^4 = -1\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, giá trị cực đại yCĐ = y(-1) = y(1) = 1; đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu yCT = y(0) = 0
Đồ thị:
Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0).
Đồ thị của hàm số:
Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = - 1 như hình bên
Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Bạn có phương pháp giải hay hơn?