Giải bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12

Câu a: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của phương trình \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)

Tìm tập xác định

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

Sự biến thiên:

- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó y' = 0 hoặc đạo hàm không xác định

Đạo hàm: y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.

- Lập bảng biến thiên và xét các khoảng đồng biến, nghịch biến; các điểm cực trị của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại y_CĐ = y(0) = 5; đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu y_CT = y(2) = 1

Đồ thị:

Tính đối xứng: y'' = 6x - 6; y'' = 0 ⇔ x = 1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5).

Đồ thị của hàm số:

Câu b: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = -6x^{2 +} 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = y(1) = -1, hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu y_CT = y(0) = -2

Đồ thị hàm số:

Tính đối xứng: 

\(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) 

Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\)

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6).

Đồ thị của hàm số:

Câu c: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của phương trình \(\small 2x^2 - x^4 = -1\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 4x - 4x³ = 4x(1 - x²); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.  

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = y(-1) = y(1) = 1; đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu y_CT = y(0) = 0

Đồ thị:

Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0).

Đồ thị của hàm số:

Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = - 1 như hình bên