Trang chủ   >>   Lớp 12   >>   Toán
SGK Giải Tích 12

SGK Giải Tích 12

ISBN: 9786040141798

Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam

Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)

b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Gia Huy
5 0
1

Câu a: Chứng minh bất đẳng thức sau \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)
Để chứng minh \(tanx >x\) với mọi \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta chứng minh tanx - x > 0 với mọi \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) 

Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Dễ thấy: \(tan(0)-0=0.\)

Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\)

2

Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\)

\(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\)

3

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\)

Kết luận

Vậy với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow tanx > x\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\)

Đánh giá
Báo sai phạm
Huong Huong
5 0
1

Câu b: Chứng minh bất đẳng thức sau \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)
Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) có đạo hàm:

\(g'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} = {\tan ^2}x - {x^2}\)

\(= (tanx - x)(tanx + x) > 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)  (Theo câu a)

\(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)

2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Kết luận

Vậy với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta có \(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) \Rightarrow tanx > x + \frac{{{x^3}}}{3}\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Đánh giá
Báo sai phạm

Bạn có phương pháp giải hay hơn?

Nếu thấy hay, hay ủng hộ ngay!