ISBN: 9786040141798
Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất
Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam
Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \({x_0} = - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại
Trúc Anh
0 
- Với a = 0 hàm số trở thành y = - 9x+b không có cực trị
- Với \(a \ne 0\) ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{9}{{5a}}\\ x = \frac{1}{a} \end{array} \right.\)
+ Với a < 0 ta có bảng biến thiên:
Theo giả thiết \({x_0} = - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\frac{9}{5}.\)
Giá trị cực tiểu là số dương nên:
\(y_{CT}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\)
+ Với a > 0 ta có bảng biến thiên:
.png)
Vì \({x_0} = - \frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \( - \frac{9}{{5a}} = - \frac{5}{9} \Leftrightarrow a = \frac{{81}}{{25}}\).
Giá trị cực tiểu là số dương nên:
\({y_{CT}} = y\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} + \frac{2}{a} - \frac{9}{a} + b > 0\)\(\small \Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)
Vậy các giá trị a, b cần tìm là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{9}{5}\\
b > \frac{{36}}{5}
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{81}}{{25}}\\
b > \frac{{400}}{{243}}
\end{array} \right.\)
Bạn có phương pháp giải hay hơn?
