ISBN: 9786040141798
Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất
Nhà xuất bản: NXB Giáo Dục Việt Nam
Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2})\)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2
Thu Hiền
0 
Câu a:
Xét hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}\)
\(y' = \frac{{{m^2} + 2}}{{\left( {2x + m} \right)}} > 0,\forall m\) và \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}.\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{m}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{m}{2}; + \infty } \right).\)
Nguyen Thu
0
Điều kiện đề hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có tiệm cận đứng là:
\(\left\{ \begin{array}{l} c \ne 0\\ ad - bc \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2 \ne 0\\ {m^2} + 2 \ne 0,\forall m \end{array} \right.\)
(luôn đúng).
Câu b:
Ta có:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ + }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ + }} \frac{{mx - 1}}{{2x + m}} = - \infty ;\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ - }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ - }} \frac{{mx - 1}}{{2x + m}} = + \infty\)
Nên đường thẳng \(x=-\frac{m}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Tiệm cận đứng đi qua \(A\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\) khi và chỉ khi: \(- \frac{m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2\)
Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2})\)
Thảo Nguyên
0
Câu c:
Với m = 2, ta có hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}}\)
Tập xác định \(D = \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Tiệm cận:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = + \infty ;\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = - \infty\)
Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = 1;\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = 1\)
Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang
Đạo hàm: \(y' = \frac{6}{{{{(2x + 2)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\)
Bảng biến thiên:
.PNG)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;1) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại \(\left ( \frac{1}{2};0 \right )\); cắt Oy tại \(\left ( 0;-\frac{1}{2} \right )\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left ( -2;\frac{5}{2} \right )\).
Đồ thị của hàm số:
Vậy đồ thị được vẽ như trên
Bạn có phương pháp giải hay hơn?
